Fundamentals (2): Fourier-Analyse

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Teil 3 von 30 aus der Serie "Digitale Nachrichtenübertragung"
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Fourier-Analyse und Abtasttheorem sind die Grundlagen aller modernen Betrachtungen über die Nachrichtenübertragung. Wir stellen hier nur Ergebnisse und Auswirkungen dar, die genaue mathematische Herleitung möge der Interessent der einschlägigen Literatur entnehmen. Die Fourier-Analyse gibt hier Aufschluss über die Gestalt von Schwingungen und indirekt über deren Verformung bei Begrenzung der auf dem Übertragungsmedium zur Verfügung stehenden Bandbreite.

Nach Fourier können periodische nichtsinusförmige Funktionen mit Periode (Dauer) T durch die Überlagerung unendlich vieler sinusförmiger Funktionen mit im Allgemeinen unterschiedlichen Amplituden und unterschiedlichen Nullphasenwinkeln dargestellt werden. Die Frequenzen der einzelnen sinusförmigen Funktionen sind ganzzahlige Vielfache (man nennt sie Harmonische) der Grundfrequenz. Die Grundfrequenz ist f0 = 1/T. Eine derartige Dekomposition heißt Fourier-Reihe. Durch die Harmonischen entstehen für jede Frequenz Linienspektren, und zwar ein Amplitudenspektrum, das den Amplitudenanteil einer jeden Harmonischen an der Gesamtamplitude der Funktion darstellt, und ein Phasenspektrum aus den unterschiedlichen Nullphasenwinkeln.

Aus einer gegebenen Fourier-Reihe kann unter bestimmten Randbedingungen die Funktion rekonstruiert werden, sofern T und die Einzelamplituden bekannt sind. Damit die Analyse durchgeführt werden kann, darf die Zeitfunktion innerhalb einer Periode nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzen. Ferner muss das Integral der Funktion im Bereich von –T/2 bis +T/2 endlich sein.

Als Analogon zur Fourier-Reihe sei ein bekanntes Beispiel aus der Naturwissenschaft angeführt: Erhitzt man ein chemisches Element, senden die Atome und Moleküle Wellen nur ganz bestimmter Länge aus, da jedes atomare Gebilde Energie nur in ganz bestimmten Mengen (Quanten) aufnehmen und abgeben kann. Diese Linienspektren sind für alle Elemente bekannt. Ein aus mehreren Elementen zusammengesetzter Stoff kann auf diese Weise auf seine Zusammensetzung hin analysiert werden (Spektralanalyse).

Es gibt ein (unter Insidern mittlerweile berühmtes) Beispiel von Tanenbaum, in dem die ASCII-Darstellung von »b« dargestellt wird, und zwar mit den ersten 15 Harmonischen, aber auch nur mit 1, 2, 4 oder 8 Harmonischen. Bei zu wenig Harmonischen bleibt von dem »b« nicht mehr allzu viel übrig. Also sind die Harmonischen offensichtlich wichtig.

Das Abtasttheorem von Shannon besagt folgendes: Ein Signal, das (nach der Fourier-Analyse) als höchste Frequenzkomponente die Frequenz fmax enthält, ist durch einzelne Funktionswerte im zeitlichen Abstand 1/2 fmax oder dichter eindeutig definiert.

Der Beweis läuft im Wesentlichen über die Fourier-Rücktransformation. Ohne dieses Abtasttheorem wären weder digitales Telefon noch CD-Spieler denkbar: Ein analoges Signal wie Sprache oder Musik wird in Zeitintervallen abgetastet, die der Vorgabe des Abtasttheorems entsprechen. Die dabei entstandenen analogen Abtastwerte werden quantisiert (in Stufen eingeordnet). Die Nummer der betreffenden Stufe wird in eine Digitalzahl umgewandelt und digital weiterverarbeitet (gespeichert und/oder übertragen). Dank des Abtasttheorems kann man aus diesen Digitalzahlen das ursprüngliche Analogsignal wieder rekonstruieren. fmax bei Sprache in der Telefonie ist z. B. 3200 Hz. Man muss also mindestens 6400 mal in der Sekunde einen Abtastwert nehmen; in der Praxis nimmt man 8000 pro Sekunde, das ist sicherer. Für die Darstellung des Signals spendiert man 256 Stufen, also 8 Bit. 8 Bit mal 8000 Abtastungen/s gibt die berühmten 64 kbit/s.

Der wohl wichtigste Parameter für die ungestörte Übertragung von Signalen beim Design eines Übertragungssystems ist die Bandbreite. Für ein ideales Übertragungssystem ist die Bandbreite definiert als der Bereich von Frequenzen, der »heil« durch das System durchkommt. In ähnlicher Weise ist die Bandbreite eines Signals definiert als der Bereich (positiver) Frequenzen in diesem Signal. Ein sinnfälliges Zusammentreffen ist dann gegeben, wenn die Bandbreite des Übertragungssystems so gestaltet ist, dass die Bandbreite des Signals ganz hineinpasst. Das Bild 4 zeigt das Frequenzspektrum eines idealisierten Signals, das z. B. Frequenzen von 0 bis W1 Hz und keine außerhalb dieses Bereiches enthält. Die Nutzcharakteristik eines idealen Übertragungssystems mit konstanter Leistung von 0 bis W2 ist ebenfalls abgebildet.

Wenn W1 kleiner als W2 ist und die Amplituden der Signalfrequenzen innerhalb der Leistung des Übertragungssystems liegen, kann eine ungestörte Übertragung gewährleistet werden.

Bei Datenkommunikationssystemen und besonders Lokalen Netzen alter Bauart sind diese Beziehungen meist in üppigster Weise gegeben, auch wenn, wie wir gleich sehen werden, Binärsignale in realen Systemen nie ganz rein übertragen werden können. Wird z. B. bei einem IBM 3270-Terminal mit einer Rate von 9600 bit/s auf einem Koaxialkabel übertragen, das in einem anderen Installationszusammenhang (TV) problemlos mehrere Hundert Megahertz Bandbreite realisiert, so kann man durchaus davon sprechen, dass das Signal vom Terminal in das Übertragungssystem »passt«, so etwa wie eine durchschnittliche Erbse in einen 10-l-Eimer. Auch ein Signal des »Ethernet« ist noch weit von der Grenze der Bandbreite entfernt. Dadurch konnten die »Lokalnetzer« in den frühen Jahren die gesamte Nachrichtentechnik ignorieren. Möchte man heute jedoch FDDI, 100 Base-T oder schnellere Systeme auf UTP oder STP übertragen, werden die klassischen Fragestellungen wieder interessant.

Will man jetzt die Rückwirkungen zwischen Signalbandbreite und Übertragungsleistung des Systems näher betrachten, muss man Fourier-Transformierte benutzen. Die Fourier-Transformation G(f) (Spektralfunktion) einer Zeitfunktion g(t) (Signalfunktion) sehen Sie in Bild 5. Die Rücktransformationsformel erkennen Sie in Bild 6.

Der Zusammenhang mit linearen Übertragungssystemen zeigt, dass die Fourier-Transformierten eines System-Inputs G1(f) und eines System-Outputs G2(f) über die Systemfunktion des Übertragungssystems H(f) korreliert ist in Bild 7 zu sehen.

Alle drei Ausdrücke G1(f), G2(f) und H(f) sind üblicherweise komplexe Funktionen der Frequenz f.

Betrachten wir nun einen Rechteckimpuls der Dauer T und der Amplitude A, wie wir ihn uns allgemein vorstellen. Seine Spektralfunktion wird in Bild 8 gezeigt. Zur Berechnung dieser Beziehung braucht man hauptsächlich die Formel in Bild 9.

Der Rest ist Flächenrechnung. Der Verlauf dieser Spektralfunktion eines Rechteckimpulses erstreckt sich von der Frequenz – ∞ bis + ∞.

Für die Übertragung eines Rechteckimpulses wäre also theoretisch eine unendliche Bandbreite nötig.

Eigentlich könnten wir hier aufhören, denn es ist ja jetzt klar, dass wir keine »ordentlichen« Rechteckimpulse übertragen können. Allerdings, unsere Rechner und Gatter können – aus dem gleichen Grund – auch keine ordentlichen Rechtecksignale erzeugen. Die Funktion sin x/x können wir mit herkömmlichen Mitteln nicht darstellen.

Man kann ebenfalls zeigen, dass sich auch für eine Folge von Binärimpulsen diese Situation nicht zu unseren Gunsten ändert.

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