Fundamentals (3): die Nyquistbedingungen

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Teil 4 von 30 aus der Serie "Digitale Nachrichtenübertragung"
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Im letzten Teil haben wir gesehen, dass es eigentlich nicht möglich ist, Rechteckimpulse überhaupt ordentlich zu übertragen. Wie wir wissen, gibt es aber doch Möglichkeiten. Das liegt an den nach dem berühmten Physiker benannten Nyquistbedingungen. Letztlich legen sie fest, inwieweit Verformungen tolerierbar sind und ausgeglichen werden können.

Wenn wir uns Signale, die aus einem Rechner kommen, am Oszilloskop ansehen, werden die Verformungen mehr oder minder gut sichtbar. Meist sind die Ecken rund und die Flanken des Signals steigen und fallen nicht abrupt, sondern kontinuierlich. Bei der Besprechung der Übertragungsmedien werden die Effekte der Bandbreitebeschränkung noch ausführlich dargestellt. Klar ist aber, dass in den meisten realen Übertragungsmedien und -systemen eine frequenz- und längenabhängige Dämpfung besteht. Dies können wir im »richtigen Leben« leicht nachvollziehen: Wir schließen einen Plattenspieler mit einem ca. 1 m langen Kabel an einen Verstärker an: Der Klang wird gut sein. Nehmen wir ein 10 oder 20 m langes Kabel, am besten noch eines von schlechter Qualität, z. B. Klingeldraht, ist der Klang wesentlich schlechter: Die Höhen sind weg (frequenzabhängige Dämpfung), wir müssen den Verstärker wesentlich mehr aufdrehen (frequenz- und längenabhängige Dämpfung) und es wird »brummen« (Einstreuung äußerer Störsignale).

Dies passiert bei der Übertragung digitaler Informationen genauso, es kommt nur noch ein weiterer Störfaktor hinzu: die anderen Übertragungswege, die zur so genannten Nebensprechdämpfung führen. Wir kommen später nochmals auf die Dämpfungseffekte zurück.

Die Verformung der Impulse erstreckt sich bei einer Impulsfolge üblicherweise fast über das gesamte Zeitintervall zwischen zwei Impulsen. Senkt man den Abstand zwischen zwei Impulsen (Verkürzung der Schrittdauer, siehe oben), überlagern sich die Verformungen und Impulse immer weiter. Diese von der Impulsfolge abhängige Überlagerung der Impulse wird als Intersymbol-Interferenz bezeichnet. (siehe Bild 1)

Wir wollen die Auswirkungen der Verformung an einem Impuls untersuchen. Der einzelne Sendeimpuls ist durch seine den beiden logischen Zuständen 0 und 1 zugeordneten Kennwerte, hier die Amplitudenwerte 0 und A, und durch seine Dauer T gekennzeichnet. Empfänger arbeiten üblicherweise mit einer Schwellwertschaltung, z. B. einem Schmitt-Trigger, die entscheiden muss, welchen der beiden Kennwerte das empfangene Signal gerade repräsentiert.

Die so genannte Entscheidungsschwelle liegt normalerweise in der Mitte zwischen den Amplitudenwerten, hier also bei A/2. Dadurch besteht für die Verfälschung der beiden Zustände auf dem Übertragungsweg die gleiche Wahrscheinlichkeit. Eine andere Methode besteht darin, mit Bändern zu arbeiten, bei denen neben dem »oberen« und dem »unteren« Amplitudenbereich ein logisches Niemandsland existiert. Dann braucht man zwei Entscheidungsschwellen. Eine Schwellwertschaltung gewinnt aus dem verformten Eingangssignal ein rechteckförmiges Signal zurück, dessen Dauer im Allgemeinen aber nicht der Dauer T des Sendeimpulses entspricht. Aus den zeitlichen Abweichungen ergibt sich die Schrittverzerrung.

Neben der Entscheidungsschwelle ist der Abtastzeitpunkt wichtig, zu dem entschieden wird, welchem der beiden Kennwerte die zu diesem Zeitpunkt auftretende Eingangssignalamplitude -der Abtastwert- zuzuordnen ist. Der Zeitpunkt ist dann am günstigsten, wenn der maximale Abstand von der Entscheidungsschwelle eingehalten wird, weil dann die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlinterpretation am geringsten ist. In Bild 2 ist dies etwa bei t = 0 der Fall.

Eine vorliegende Verformung ist abhängig von der Enge der Bandbegrenzung. Die Verformung nimmt mit zunehmender Bandbegrenzung zu. Gehen wir nochmals zurück zur Darstellung des »b«. Die Darstellung mit acht Harmonischen ist einigermaßen tragbar und unter Beachtung des eben Ausgeführten unkritisch. Würden wir die Bandbegrenzung verschlimmern, z. B. durch Steigerung der Datenrate, und nur noch auf eine Darstellung mit vier Harmonischen kommen, könnte es kritisch werden.

Bedingungen, wann denn eine Signalübertragung noch funktioniert, kommen von Harry Nyquist.

In einem realen System wird nicht nur ein einzelner Impuls, sondern eine Impulsfolge übertragen. Wenn wir davon ausgehen, dass der Informationsgehalt des Impulses, wie oben beschrieben, durch eine Abtastung zu einem geeigneten Zeitpunkt gewonnen werden soll, ist es wichtig, dass sich der abzutastende Impuls und seine Nachbarimpulse nicht ausgerechnet an diesem Abtastzeitpunkt überlagern. Harry Nyquist hat Bedingungen formuliert, die zu real erzeugbaren Impulsen und Signalen passen und dennoch sicherstellen, dass eine einwandfreie Übertragung gewährleistet werden kann.

Für eine bestimmte Übertragungsgeschwindigkeit (Schrittgeschwindigkeit im binären Falle) v müssen nur zu den Zeitpunkten im Abstand T = 1/v, zu denen die Information abgetastet werden soll – den Abtastzeitpunkten eben –die Beiträge der Nachbarimpulse verschwinden. Konstruiert man Signale, die dieser Bedingung gehorchen, erhält man eine Übertragung ohne Intersymbol-Interferenz. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist minimal, da sie einzig und allein durch den Abstand der Kennwerte von der Entscheidungsschwelle bestimmt wird. Diese Bedingung wird Nyquistbedingung I genannt. Sie wird durch einen Impuls erfüllt, der nur zu einem Abtastzeitpunkt einen die Information repräsentierenden, von Null verschiedenen Wert und an all den anderen Abtastzeitpunkten (die für die benachbarten Signale) Nullstellen besitzt. Die Nyquistbedingung I definiert lediglich die Abtastwerte g(nT), n ∈ INo eines Signals. Man kann aber den gesamten Verlauf einer entsprechenden Zeitfunktion g(t) wegen des Abtasttheorems von Shannon durch die Abtastwerte g(nT) eindeutig bestimmen, wenn die Fouriertransformierte nur innerhalb des Bereiches ω < π/T von Null verschieden ist. Weitere Begriffe in diesem Zusammenhang sind: | ωN | ≤ π/T bzw. | fN | ≤ ½T Nyquistband.

fN = ½T Nyquistfrequenz und TN = T Nyquistintervall.

Die Abtastwerte eines Signals nach der Nyquistbedingung I sehen wie folgt aus (Bild 3).

Versuchen wir es also damit und konstruieren eine Funktion g(t), die zu den Abtastzeitpunkten nT die entsprechenden Werte erzeugt. Die Funktion sin x hat Nullstellen für x = ±nπ, n ∈ INO. Also hat sin (πt/T) Nullstellen an den Abtastzeitpunkten. Dummerweise jedoch auch für t = 0, obwohl doch dort gerade der Abtastwert d ≠ 0 sein sollte. Wir wissen aber, dass sin x -> 1 für x -> 0. Wir erhalten also wieder Bild 4.

Eigentlich interessiert nur das Intervall [–π/T; π/T]. In diesem ist g(nT) = d, sonst 0. Die Signalfunktion ist dann Bild 5.

Die Spektralfunktion ist g(ω) = dT |ω| ≤ π/T

Dies ist ein niederschmetterndes Ergebnis, denn bei dieser Funktion waren wir bereits. Auf die Herleitung der Spektralfunktion wollen wir deshalb hier verzichten. Ihr Betrag hat für den Bereich zwischen 0 und der Nyquistfrequenz den Wert dT. Grundsätzlich ist es leider so, dass sich Signale, deren Spektralfunktion auf einen endlichen Frequenzbereich beschränkt ist, von –∞ bis +∞ erstrecken, also unrealistisch sind. Aus Gründen der Kausalität müsste ein Sendesignal bei –∞ vorausgesetzt werden, was schwerlich zu realisieren ist.

Also müssen wir von der idealisierten Form Abstand nehmen. Hierfür gibt es die Nyquistbedingung II, die fordert, dass im Abstand –T ≥ t ≥ T vom Abtastzeitpunkt Nullstellen für t = ± (nT/2) mit n = 2, 3, . . . auftreten und die Amplituden bei ± T/2 vom Abtastzeitpunkt aus gerechnet die Hälfte der Maximalamplitude betragen.

Der Begriff Roll Off beschreibt eine cosinusförmige Abflachung des rechteckförmigen Spektrums. Der Roll-Off-Faktor r liegt zwischen 0 und 1, genau 0 < r ≤ 1; der Spektralbereich ist also um maximal 100 % breiter als das Nyquistband. Die sich durch ein Roll Off ergebende Spektralfunktion ist Bild 9. Als Signalfunktion ergibt sich nach einigem Rechnen Bild 10. [caption nr="8" id="attachment_4529" align="alignleft" width="180"][image id="4529" src="/wp-content/uploads/2012/03/diginach-04-08-180x107.jpg" width="180" height="107" class="size-thumbnail wp-image-4529"][/caption] [caption nr="9" id="attachment_4531" align="alignleft" width="180"][image id="4531" src="/wp-content/uploads/2012/03/diginach-04-09-180x52.jpg" width="180" height="52" class="size-thumbnail wp-image-4531"][/caption] [caption nr="10" id="attachment_4532" align="alignleft" width="180"][image id="4532" src="/wp-content/uploads/2012/03/diginach-04-10-180x34.jpg" width="180" height="34" class="size-thumbnail wp-image-4532"][/caption] Diese Funktion wird in der Praxis verwendet, z. B. bei Systemen mit Quadraturamplitudenmodulation. Die Funktion nähert sich außerhalb des für die Abtastung interessierenden Bereiches umso schneller dem Wert 0, je größer der Roll-Off-Faktor ist. Dadurch werden die Einzelimpulse unempfindlicher gegenüber Störungen der Nachbarimpulse. Bei r = 1 erhält der Impuls zusätzliche Nullstellen zwischen den Abtastzeitpunkten. So können auch die Momentan-Amplituden zwischen den Abtastzeitpunkten verzerrungsfrei bestimmt werden. Die Amplitude des Hauptimpulses fällt nach T = ± T/2 auf den halben Wert d/2. Somit erfüllt die Funktion die Nyquistbedingung II. Damit haben wir eine Funktion gefunden, die realisierbar ist und gleichzeitig die theoretisch gestellten Anforderungen erfüllt.

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